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日志

 
 

散射矩阵、协方差矩阵  

2009-09-03 15:39:35|  分类: 数学基础 |  标签: |举报 |字号 订阅

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散射矩阵,又称S矩阵,是物理学中描述散射过程的一个主要观测量。

现代高能物理的发展,同其他物理学一样是理论和实验的互动,而这种互动主要的桥梁就是散射矩阵

假设散射源为很好的定域散射源,与被散射粒子的相互作用局限在有限的空间范围内,那么,无穷远时间以前粒子处于一个自由态,称为入态,记为|Ψ>in;无穷远时间之后粒子也是处于一个自由态,称为出态,记为|Ψ>out。 入态到初态,相互作用可以用一个矩阵描述,记为S,那么就有:

|Ψ>out=S |Ψ>in

这就是散射矩阵的定义。

散射矩阵直接与可观测的物理量相联系,但是我们在量子场论中处理的是场,两者如何联系?或者说如何从量子场论计算散射矩阵?我们还要利用一个LSZ约化规则,它联系了量子场论中的格林函数和可观测的散射矩阵。这使得理论能够预言实验。


协方差矩阵

统计学概率论中,协方差矩阵(或称共变异矩阵)是一个矩阵,其每个元素是各个向量元素之间的方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

假设X是以n个标量随机变量组成的列向量

X = begin{bmatrix}X_1   vdots  X_n end{bmatrix}

并且μi 是其第i个元素的期望值, 即, μi = E(Xi)。协方差矩阵被定义的第i,j项是如下协方差:

Sigma_{ij} = mathrm{cov}(X_i, X_j) = mathrm{E}begin{bmatrix} (X_i - mu_i)(X_j - mu_j) end{bmatrix}

即:

Sigma=mathrm{E} left[  left(  textbf{X} - mathrm{E}[textbf{X}]  right)  left(  textbf{X} - mathrm{E}[textbf{X}]  right)^top right]
= begin{bmatrix}  mathrm{E}[(X_1 - mu_1)(X_1 - mu_1)] & mathrm{E}[(X_1 - mu_1)(X_2 - mu_2)] & cdots & mathrm{E}[(X_1 - mu_1)(X_n - mu_n)]    mathrm{E}[(X_2 - mu_2)(X_1 - mu_1)] & mathrm{E}[(X_2 - mu_2)(X_2 - mu_2)] & cdots & mathrm{E}[(X_2 - mu_2)(X_n - mu_n)]    vdots & vdots & ddots & vdots    mathrm{E}[(X_n - mu_n)(X_1 - mu_1)] & mathrm{E}[(X_n - mu_n)(X_2 - mu_2)] & cdots & mathrm{E}[(X_n - mu_n)(X_n - mu_n)] end{bmatrix}

矩阵中的第(i,j)个元素是XiXj的协方差。这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广。


术语与符号分歧

协方差矩阵有不同的术语。有些统计学家,沿用了概率学家威廉·费勒的说法,把这个矩阵称之为随机向量X的方差(Variance of random vector X),这是从一维随机变量方差到高维随机向量的自然推广。另外一些则把它称为协方差矩阵(Covariance matrix),因为它是随机向量里头每个标量元素的协方差的矩阵。不幸的是,这两种术语带来了一定程度上的冲突:

随机向量X的方差(Variance of random vector X)定义有如下两种形式:

operatorname{var}(textbf{X}) = mathrm{E} left[  (textbf{X} - mathrm{E} [textbf{X}])  (textbf{X} - mathrm{E} [textbf{X}])^top right]


operatorname{cov}(textbf{X}) = mathrm{E} left[  (textbf{X} - mathrm{E}[textbf{X}])  (textbf{X} - mathrm{E}[textbf{X}])^top right]

协方差矩阵(Covariance matrix)定义如下:

operatorname{cov}(textbf{X},textbf{Y}) = mathrm{E} left[  (textbf{X} - mathrm{E}[textbf{X}])  (textbf{Y} - mathrm{E}[textbf{Y}])^top right]

第一个记号可以在威廉·费勒的广受推崇的两册概率论及其应用的书中找到。两个术语除了记法之外并没有不同。

性质

Sigma=mathrm{E} left[ left( textbf{X} - mathrm{E}[textbf{X}] right) left( textbf{X} - mathrm{E}[textbf{X}] right)^top right] mu = mathrm{E}(textbf{X}) 满足下边的基本性质:

  1.  Sigma = mathrm{E}(mathbf{X X^top}) - mathbf{mu}mathbf{mu^top}
  2.  operatorname{var}(mathbf{a^top}mathbf{X}) = mathbf{a^top} operatorname{var}(mathbf{X}) mathbf{a}
  3.  mathbf{Sigma} geq 0
  4.  operatorname{var}(mathbf{A X} + mathbf{a}) = mathbf{A} operatorname{var}(mathbf{X}) mathbf{A^top}
  5.  operatorname{cov}(mathbf{X},mathbf{Y}) = operatorname{cov}(mathbf{Y},mathbf{X})^top
  6.  operatorname{cov}(mathbf{X_1} + mathbf{X_2},mathbf{Y}) = operatorname{cov}(mathbf{X_1},mathbf{Y}) + operatorname{cov}(mathbf{X_2}, mathbf{Y})
  7. p = q,则有operatorname{cov}(mathbf{X} + mathbf{Y}) = operatorname{var}(mathbf{X}) + operatorname{cov}(mathbf{X},mathbf{Y}) + operatorname{cov}(mathbf{Y}, mathbf{X}) + operatorname{var}(mathbf{Y})
  8. operatorname{cov}(mathbf{AX}, mathbf{BX}) = mathbf{A} operatorname{cov}(mathbf{X}, mathbf{X}) mathbf{B}^top
  9. mathbf{X}mathbf{Y} 是独立的,则有operatorname{cov}(mathbf{X}, mathbf{Y}) = 0
  10.  Sigma = Sigma^top


其中 mathbf{X}, mathbf{X_1}mathbf{X_2} 是随机mathbf{(p times 1)}向量, mathbf{Y} 是随机mathbf{(q times 1)}向量, mathbf{a}mathbf{(p times 1)} 向量, mathbf{A}mathbf{B}mathbf{(p times q)} 矩阵。

尽管协方差矩阵很简单,可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵,这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看,也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。 这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis),在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。

复随机向量

均值为μ的复随机标量变量的方差定义如下(使用共轭复数):

operatorname{var}(z) = operatorname{E} left[  (z-mu)(z-mu)^{*} right]

其中复数z的共轭记为z *

如果Z 是一个复列向量,则取其共轭转置,得到一个方阵:

operatorname{E} left[  (Z-mu)(Z-mu)^{*} right]

其中Z * 为共轭转置, 它对于标量也成立,因为标量的转置还是标量。

估计

多元正态分布的协方差矩阵的估计的推导非常精致. 它需要用到谱定义以及为什么把标量看做1 times 1矩阵的trace更好的原因。参见协方差矩阵的估计

Covariance Matrix

Given n sets of variates denoted {X_1}, ..., {X_n} , the first-order covariance matrix is defined by

 V_(ij)=cov(x_i,x_j)=<(x_i-mu_i)(x_j-mu_j)>,

where mu_i is the mean. Higher order matrices are given by

 V_(ij)^(mn)=<(x_i-mu_i)^m(x_j-mu_j)^n>.

An individual matrix element V_(ij)=cov(x_i,x_j) is called the covariance of x_i and x_j.

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